Задачка с ГИА...

[kelebril]

Дан прямоугольный треугольник, у которого один угол 60 градусов. Известна площадь:
32№3
-----
3
(№ - это корень, штришочки - это дробь). Надо найти длину катета, прилегающего к углу 60 градусов. Ответ неизвестен, в одном найденном варианте - 8, в другом - что-то там с синусами. Ребёночек не справился, я тоже. Но я-то филолог, а она пока только учится.

upd: Противолежащий катет нужен! В смысле, противолежащий углу 60 градусов. Можно посчитать на бис?

Comments

[nasse.livejournal.com]

Этот треугольник - половина равностороннего (потому что угол - 60). т.е. короткий катет, который нам нужен, равен половине гипотенузы.
Площадь треугольника равна произведению сторон на синус угла между ними, и пополам.
sin 60 - корень из трех пополам.

Считать нечем.

[nina-chatte.livejournal.com]

Мне нетрудно рассказать, но для этого надо нарисовать картинки с формулами. Если хотите, могу прислать на какую-нибудь почту.

С теплым пушистым приветом
Нина

[red_2]

1) Записываем формулу прощади треугольника. Она равна половине произведения катетов. Пусть катеты a и b, катет а лежит при угле в 60 градусов.
2) Соображаем, что а = b*tg 30
3) Подставляем выражение для а в формулу площади из п.1, получаем, что 1/2*b*b=32 (корень из трёх, делённый на три, удобно сократится)
Тогда b=8. Но нам-то нужен катет а. Он будет равен b*tg 30 (из п.2). Восемь корней из трёх делить на три. Это и есть ответ.

Проверяем. 1/2*8*8*tg30 = 32*tg30.

[kelebril.livejournal.com]

Татьяна утверждает, что корней там быть не может, в клеточках места под них не предусмотрено, а в выложенных ответах (неизвестно кем, правда) результат - 8. А с корнями у неё тоже получалось.

[kelebril.livejournal.com]

Ой, тангенс... это слово я помню ещё хуже, чем синус. Ребёнок посмотрел варианты, покрутил носом - не годится.

[red_2]

Пусть найдёт ошибку в моём решении. :)
Если найдёт (я считаю, что ошибки нет) - молодец.
Она понимает мой ход рассуждений и обозначения?

А без знания того, что такое тангенс и синус, на ГИА по математике идти - это очень смело.
(Я понимаю, что на ГИА идёт ребёнок, а не ты, но ребёнок и применять это дело должен уметь.)

[kelebril.livejournal.com]

Синусы знает, про тангенсы спрошу, когда из ванной вылезет, но должна быть в курсе.

[t-agatha.livejournal.com]

пусть мы ищем а
исходим из того что площадь прямоугольного треугольника - это (a*b)/2
по тереме синусов выражаем одну сторону через другую.
а/sin30=b/sin60

либо вспоминаем что тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему
и получаем tan30=a/b
a=b*tan30

ну и дальше в площадь это подставляем и решаем уравнение с одним неизвестным.

[nasse.livejournal.com]

UPD плохо посчитала, потеряла тройку в знаменателе
Мнэ. Посчитала.Записывай цифрами. Обозначим короткий катет через X
Тогда площадь равна X *2X * sin(60) /2, т.е X квадрат на корень из 3 и пополам.
(2X потому что гипотенуза в этом треугольнике вдвое длиннее катета, т.к. он - половинка равностороннего)
С другой стороны это то, что вы написали. Корни из 3 сокращаются, остается X квадрат равен 64/3.
Тогда второй катет действительно 8, по пифагору.

[red_2]

Если с поправкой, то получается 8.
Ход рассуждений остаётся такой же, но останавливаемся на предложении "Тогда b=8" в моём решении (получается, мы катет b искали) и с чувством глубокого удовлетворения записываем ответ. :)

[nasse.livejournal.com]

Уфф.. Сошлось.

[kelebril.livejournal.com]

Татьяна посмотрела, вдумалась, попросила передать спасибо. Но на тангенсах, похоже, их внимание в самом деле не заостряли.

[rbelka.livejournal.com]

8
решается в 2 минуты
пусть меньший катет (прилежащий к углу в 60°) х
тогда гипотенуза 2х, а больший катет - х*№3 (где № - знак корня)
площадь прямоугольного треугольника - половина произведения катетов
из этого получаем, что х=8/№3 (это меньший катет)
а больший, соответственно, вот это самое, умноженное на №3, то есть 8, №3 сократится

[rbelka.livejournal.com]

да тут никакие синусы ваще не нужны
достаточно помнить, что катет, лежащий проив угла в 30° равен половине гипотенузы
ну, и теорему Пифагора, а также площадь прямоугольного треугольника. коя равна половине произведения катетов
задачка для 6-го класса максимум

[kelebril.livejournal.com]

Во, а я это и не помню, про половину гипотенузы. А помнит ли Танька - уже не спросишь, кажется, уже залегла.

[rbelka.livejournal.com]

Зачем так сложно? По теореме Пифагора второй катет (длинный) это х умножить на корень из трех
далее площадь - это половина произведения катетов, оттуда находим х (8/№3) и домножаем его на №3
вот вам и искомая восьмерка :)

[rbelka.livejournal.com]

да не нужна в этой задаче ваще никакая тригонометрия!
задачка для 6-го класса...

[red_2]

Передай - пожалуйста. :) А тангенсы пусть повторит, оно полезно.

Хотя задача и через синус решается, если они изучали формулу "площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними". В качестве сторон берём искомый катет b и гипотенузу с, угол между ними будет 30.
Гипотенузу находим через катет b, зная косинус 30 градусов. Синус 30 равен 1/2.
Перемножаем всё и приравниваем к известной нам площади, корни из 3 сократятся,
Получаем то же самое b*b/2 = 32 и отсюда b=8.

[rbelka.livejournal.com]

ну, по идее должна помнить
моя Юля - помнит :)
а к 9 классу они уже должны понимать, почему оно так
через синусы-косинусы оно доказывается, но сам факт известен с начальной школы

[rbelka.livejournal.com]

слушай, но я реально не могу тогда понять, откуда у нее пять по геометрии, если такие задачки вызывают сложности
потому что это элементарщина полнейшая

[red_2]

Может быть, и не нужна, но знание её изрядно украшает жизнь школьника, сдающего ГИА по математике; советчики же, в большинстве своём, предполагают у ребёнка таковое знание, поскольку без него изучение геометрии в 9 классе способно сделаться довольно мучительно.

[rbelka.livejournal.com]

ну я ж не говорю, что она ваще не нужна :)
что там есть в курсе геометрии в 9-м классе - я пока не в курсе, мое чадушко 8-й закончило
в данной задаче легко можно обойтись, если ребенок с этим путается
но вообще уровень сложности впечатляет
а так же тот факт, что у круглой отличницы сие вызывает трудности...

[red_2]

Я тоже не знаю, что в 9 классе, моё дитё тоже закончило восьмой, но их уже задачками с ГИА шпыняли всю 4 четверть, и там было много тригонометрии, без синусов и тангенсов тяжко бы пришлось.

Что можно обойтись - согласна. :)

[kelebril.livejournal.com]

После тщательного допроса выяснилось, что помнит. Но на экзаменах, похоже, она реально впадает в панику и половину из того, что знает, забывает.

[kelebril.livejournal.com]

Брр. помедленнее. Мне уже интересно. "а больший катет - х*№3" - вот это откуда взялось? Нутром чую, что без Пифагора не обошлось, но что-то не соображу. Можно по действиям изложить, по порядку? Я и в школе всегда так делала, что откуда пошло... как учили.

[rbelka.livejournal.com]

извини, пропустила, бо это было в комментах к первому посту про эту задачу
меньший катет - х, гипотенуза - 2х, соответственно, больший катет по теореме Пифагора это корень из разности квадрата гипотенузы и квадрата известного катета, то есть 4х2 - x2 = 3 х2 (двойка после икса - показатель степени, я не знаю как тут надиндекс сделать). А корень из 3х2 это и есть х*№3

[kelebril.livejournal.com]

Не, не успеваю за полётом мысли. То есть теперь не понимаю, откуда 3х2. Так. С2=а2+в2. С=2а, ну допустим, ищем а. 4а2=а2+в2. 4а2-а2=в2. То есть 3а2=в2. А дааальше? Ну, площадь - половина произведения катетов... и как их совместить? Вот же ж отвыкла...

[rbelka.livejournal.com]

ну смотри
вот ты ж сама получила 3а2=в2
значит, что такое в? это корень из 3а2, то есть а№3. Просто то, что ты обозначила через "а", я назвала "х"
Итак, один катет а, второй - а№3, половина их произведения (а*а*№3)/2. И вот это-то и есть площадь треугольника, а она по условию (32№3)/3. Ну и приравниваем одно к другому, получаем уравнение с одним неизвестным, простейшее: (а*а*№3)/2 = (32№3)/3

[kelebril.livejournal.com]

Допёрла. Только вот дальше... привела к одному знаменателю, в числителях получилось 3а2№3=64№3. То есть 3а2=64? А 64 на три не делится...

[rbelka.livejournal.com]

ну и не надо ему делиться :)
получаем дробь 64/3
извлекаем из нее корень, получится 8/№3
вспоминаем, что нужный нам катет это а№3
домножаем нашу дробь на №3 и получаем вожделенный ответ :)

[kelebril.livejournal.com]

Как из дроби извлекается корень? Вот это я уже совсем не помню... И, главное, зачем? Но до 3а2=64 и Танька утром на экзамене дошла, и я потом днём. И вот тут-то и застряли. Обе.

[rbelka.livejournal.com]

что значит - зачем??? чтобы узнать. чему равен катет, а не его квадрат :)))
а корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя
в девятом классе пора бы знать... это начало 8-го, если не седьмой ваще

[kelebril.livejournal.com]

Да безусловно знает, это я не помню. Но продолжаю не понимать. Если из правой части корень извлекать, то и из левой тоже? Так... на бумажке написала, сообразила. а2=64\3. а=корень из 64\3. Я просто уже успела забыть, что найти-то надо в. Ух. Это ж надо буквочки по дороге не растерять... и, главное, при каком-то варианте 8 у неё получилось, видимо, всё-таки именно этим путём, потому что по-другому-то никак. Но правильным ответом это почему-то не сочла.

[t-agatha.livejournal.com]

это говорит лишь о том что у одной задачи может быть много решений.
все равно все в конце сводится к уравнению